複變函數論

📝 歷屆考古題

• 112年 地特三等 第9題
  定義 $i = \sqrt{-1}$，複變數 $z = x + iy$ 與其共軛複數 $\bar{z} = x - iy$。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？
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• 112年 地特三等 第10題
  定義 $i = \sqrt{-1}$，假設方程式 $z^2 - z + 1 + i = 0$ 的兩個解為 $z_1$ 與 $z_2$ 且 $|z_1| > |z_2|$，則下列何者正確？
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• 112年 地特三等 第11題
  $f(z) = \frac{z(z-5)(z-i)}{(z+i)^3(z+1)(z-4)^2}$，且 $c$ 為 $|z| = 3$ 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定 $\oint_c \frac{f'(z)}{f(z)} dz$…
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• 112年 地特三等 第12題
  請利用複數積分決定 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^3}$ 之值為何？
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• 111年 地特三等 第8題
  在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱 differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analyti…
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• 111年 地特三等 第9題
  考慮如下所示之複變函數： $f(z) = \frac{6+i}{z^3} + \frac{-7}{z^2} + \frac{5-2i}{z} + 1 - 2z + (5-i) \cdot z^2 + z^3$…
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• 111年 地特三等 第10題
  在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 $z = x + i \cdot y$ （$i = \sqrt{-1}$）的形式，接著我們用 $\Gamma$…
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• 111年 地特三等 第11題
  令 $g(z) = \int_{C} \frac{s^2 - s + 2}{(s - z)^2} ds$ ，其中路徑積分之路徑 $C$ 為以 $\pm 2, \pm 2i$ 為頂點之正方形的邊界，行經…
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• 111年 地特三等 第20題
  請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？
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• 110年 地特三等 第5題
  令 $z = x + iy$，$i$ 為單位虛數，則 $e^{z^2}$ 的虛部為何？
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• 110年 地特三等 第15題
  下列何者是級數 $\sum_{n=0}^{\infty} 16^n (z+i)^{4n}$ 的收斂區域？
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• 109年 地特三等 第4題
  求 $\int_{(1,1)}^{(2,4)} 2xy dx + x^2 dy = ?$
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• 109年 地特三等 第14題
  求複變函數積分 $\oint_C \left( \frac{\cosh z}{(z-\pi i)^3} - \frac{\sin^2 z}{(2z-\pi i)^3} \right) dz$，其中積分…
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• 109年 地特三等 第15題
  求複變函數積分 $\oint_C \frac{z}{(z+1)(z^2+1)} dz$，其中積分路徑 $C$ 為逆時鐘方向繞橢圓周 $16x^2 + y^2 = 4$。
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• 109年 地特三等 第16題
  複變函數 $f(z) = z^{24} - 3z^{20} + 4z^{12} - 5z^6$，求 $f\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) = ?$
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• 109年 地特三等 第17題
  $z$ 為一複數，若 $\Gamma$ 是平面中一個包含原點 $z=0$ 之封閉路徑，$\oint_{\Gamma} \frac{\cos(z)}{z} dz = ?$
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• 109年 地特三等 第18題
  曲線 $C$ 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則 $\oint_C x \cos(2y) dx - x^2 \sin(2y) dy = ?$
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• 109年 地特三等 第19題
  令一曲線 $C$ 為 $x = t^2, y = -t, z = t^2, 0 \le t \le 1$，則 $\int_C x^2 dx - yz dy + e^z dz = ?$
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• 108年 地特三等 第7題
  下列何者為 $(-64)^{-1/4}$ 的複數根？
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• 108年 地特三等 第8題
  $\ln(1-i\sqrt{3}) = ?$
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• 108年 地特三等 第9題
  求 $\int_{\phi} z^2 dz$，沿著路徑 $\phi = t+it, 0 \le t \le 2$ 積分之值：
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• 108年 地特三等 第10題
  假設 $f(z) = \frac{1}{z}$，求 $\oint_C f(z) dz$ 之值，$C$ 為 $|z-2|=1$ 之逆時針之圓周。
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• 108年 地特三等 第12題
  假設路徑 $C$ 是一逆時針的正方形，其各邊位於直線 $x=\pm 2$ 和 $y = \pm 2$ 之上。試求出 $\int_C \frac{e^{-z}}{z-(\pi i/2)} dz$ 值為何…
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• 107年 地特三等 第4題
  令收斂區間為 \$0 < |z| < 1$，試求複變數函數 $f(z) = \frac{e^z}{z(z^2+1)}$ 以勞倫茲級數（Laurent series）表示時，其留數（residue）應為…
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• 107年 地特三等 第7題
  求複變數函數積分 $\oint_C \frac{z+1}{z^3-2z^2} dz$ 之值，其中積分路徑 $C$ 為複數平面上逆時鐘方向繞圓周 $|z-1|=2$，以及 $i = \sqrt{-1}$…
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• 107年 地特三等 第10題
  假設 $z = 3+2i$，求 $Im(\frac{\bar{z}}{z}) = ?$
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• 106年 地特三等 第7題
  假設複數 $z = x + iy$，則下列那一個複變數函數是屬於全域可分析的（analytic for all $z$）？
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• 106年 地特三等 第8題
  求 $\oint_C e^z dz$ 之值，其中 $C$ 為 $|z| = 3$ 之逆時針之圓周：
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• 106年 地特三等 第9題
  已知複變數函數 $f(z) = \frac{e^{2z}}{(z - 1)^2}$ 的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數（order） $M$ 及對應的…
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• 105年 地特三等 第7題
  下列何者為複數函數 $e^z = 1 - i$ 的根？其中 $i = \sqrt{-1}$。
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• 105年 地特三等 第8題
  假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 $z = 2e^{i\theta} (0 \le \theta \le \pi)$，求 $\int_C e^{1/z} dz$ 之…
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• 105年 地特三等 第9題
  假設積分路徑是所標示的積分上下限之間的任意軌跡，求 $\int_i^{i/2} e^{\pi z} dz$ 的值為何？
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